Aantal waargenomen zuiderse soorten

We definiëren het aantal zuidelijke soorten als het aantal verschillende zuidelijke soorten dat in minstens één 1x1 km UTM hok waargenomen werd in een bepaald jaar.

We veronderstellen dat het aantal zuidelijke soorten \(y_j\) in jaar \(j\) een Poisson verdeling met gemiddelde \(\mu_j\) volgt.

\[y_j \sim \mathcal{P}(\mu_j)\]

Het gemiddelde \(\mu_j\) is via een \(\log\) link gekoppeld aan een lineaire predictor \(\eta_j\).

\[\log(\mu_j) = \eta_j\]

Deze lineaire predictor \(\eta_j\) hangt enerzijds af van een globaal gemiddeld \(\beta_0\) en het effect \(b_j\) van jaar \(j\).

\[\eta_j = \beta_0 + b_j\]

Het effect van jaar \(j\) modelleren we als een eerste orde toevalsbeweging (first order random walk) met gemiddelde 0 en variantie \(\sigma^2_J\).

\[b_j - b_{j-1} = \Delta_{b_{j, j-1}}\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_J)\]

De punten in de trendfiguur geven het waargenomen aantal soorten weer. De lijn geeft de schatting voor het verwachte aantal soorten \(\mu_j\) weer. De transparante zone rond de lijn geeft het 90% betrouwbaarheidsinterval (confidence interval) rond de schatting van \(\mu_j\).

Aanwezigheid van zuidelijke soorten

Voor deze analyse maken we gebruik van het aantal hokken per jaar waarin een zuidelijke soort werd waargenomen. We schreven een model waarbij we de gegevens van soorten gebruiken die gedurende minstens vier verschillende jaren werden waargenomen. Witpuntoeverlibel, in vier jaren in één hok waargenomen, wordt buiten beschouwing gehouden.

We veronderstellen dat het aantal hokken met waarnemingen \(y_{js}\) voor soort \(s\) in jaar \(j\) een Poisson verdeling met gemiddelde \(\mu_{js}\) volgt.

\[y_{js} \sim \mathcal{P}(\mu_{js})\]

Het gemiddelde \(\mu_{js}\) is via een \(\log\) link gekoppeld aan een lineaire predictor \(\eta_{js}\).

\[\log(\mu_{js}) = \eta_{js}\]

Deze lineaire predictor \(\eta_{js}\) hangt af van vier termen:

\[\eta_{js} = \beta_0 + b_j + b_s + b_{js}\]

• \(\beta_0\): het globaal gemiddeld \(\beta_0\)
• \(b_j\): het gemiddeld effect van jaar \(j\) over de soorten heen. Het effect van jaar \(j\) modelleren we als een tweede orde toevalsbeweging (second order random walk) met gemiddelde 0 en variantie \(\sigma^2_J\).
• \(b_s\): het gemiddeld effect van soort \(s\) over de jaren heen. Het effect van soort \(s\) modelleren we als een toevalseffect (random intercept) met gemiddeld 0 en variantie \(\sigma^2_S\).
• \(b_{js}\): het effect van jaar \(j\) voor soort \(s\). Het effect van jaar \(j\) modelleren we als een eerste orde toevalsbeweging (first order random walk) per soort \(s\) met gemiddelde 0 en variantie \(\sigma^2_{JS}\).

\[(b_{j+1} - b_j) - (b_j - b_{j-1}) = \Delta^2_{b_j} \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_J)\] \[b_s \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_S)\] \[b_{js} - b_{(j-1)s} = \Delta_{b_{js, (j-1)s}} \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_{JS})\] De punten in de trendfiguur geeft het aantal hokken met waarnemingen per soort.